Question

如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（-18，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；
（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）如答图1所示，构造等腰直角三角形BCF，求出BF、CF的长度，即可求出B点坐标；
（2）已知E点坐标，欲求直线DE的解析式，需要求出D点的坐标．如答图1所示，构造相似三角形△ODG∽△OBA，由线段比例关系求出D点坐标，从而可以求出直线DE的解析式；
（3）如答图2所示，符合题意的点Q有4个，注意不要遗漏．
解答：解：（1）过点B作BF⊥x轴于F
在Rt△BCF中
∵∠BCO=45°，BC=12
∴CF=BF=12     
∵C 的坐标为（-18，0）
∴AB=OF=6
∴点B的坐标为（-6，12）．

（2）过点D作DG⊥y轴于点G
∵AB∥DG
∴△ODG∽△OBA       
∵===，AB=6，OA=12
∴DG=4，OG=8   
∴D（-4，8），E（0，4）
设直线DE解析式为y=kx+b（k≠0）
∴
∴
∴直线DE解析式为y=-x+4．

（3）结论：存在．
设直线y=-x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F，则E（0，4），F（4，0），OE=OF=4，EF=4．
如答图2所示，有四个菱形满足题意．
①菱形OEP₁Q₁，此时OE为菱形一边．
则有P₁E=P₁Q₁=OE=4，P₁F=EF-P₁E=4-4．
易知△P₁NF为等腰直角三角形，∴P₁N=NF=P₁F=4-2；
设P₁Q₁交x轴于点N，则NQ₁=P₁Q₁-P₁N=4-（4-2）=2，
又ON=OF-NF=2，∴Q₁（2，-2）；
②菱形OEP₂Q₂，此时OE为菱形一边．
此时Q₂与Q₁关于原点对称，∴Q₂（-2，2）；
③菱形OEQ₃P₃，此时OE为菱形一边．
此时P₃与点F重合，菱形OEQ₃P₃为正方形，∴Q₃（4，4）；
④菱形OP₄EQ₄，此时OE为菱形对角线．
由菱形性质可知，P₄Q₄为OE的垂直平分线，
由OE=4，得P₄纵坐标为2，代入直线解析式y=-x+4得横坐标为2，则P₄（2，2），
由菱形性质可知，P₄、Q₄关于OE或y轴对称，∴Q₄（-2，2）．
综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形；
点Q的坐标为：Q₁（2，-2），Q₂（-2，2），Q₃（4，4），Q₄（-2，2）．
点评：本题综合考查了坐标平面内平面图形的性质，包括直角梯形、等腰直角三角形、相似三角形、菱形、正方形等，涉及考点较多，有一定的难度．第（1）（2）问难度不大，第（3）问中考生容易漏掉菱形的某种情形，是本题的难点．