Question

6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，连接CO并延长交⊙O的切线AP于点P．
（1）求证：∠APC=∠BCP．
（2）若BC=4，sin∠APC=$\frac{3}{5}$，求PA的长．

Answer 1

分析 （1）首先根据圆的对称性及AB=AC可知沿着AE对折，$\widehat{AB}$与$\widehat{AC}$重合，且DB=DC，所以EA⊥BC，从而可得BC∥AP，则∠APC=∠BCP．
（2）由    sin∠APC=$\frac{AO}{PO}$=$\frac{3}{5}$可设OA=3k，OP=5k，则OC=OA=3k，再证明△APO∽△CDO即可求解．

解答 解：（1）证明：连接AO 并延长叫BC于点D，交$\widehat{BC}$于点E．如下图所示：

∵AP切⊙O于点A，
∴EA⊥PA．
∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，
∴EA⊥BC，
∴BC∥AP，
∴∠APC=∠BCP               
（2）∵AE⊥BC，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=2，
∵sin∠APC=$\frac{AO}{PO}$=$\frac{3}{5}$，
∴设OA=3k，OP=5k，则OC=OA=3k
∵BC∥AP，
∴△APO∽△CDO，
∴$\frac{PA}{CD}=\frac{PO}{CO}$，
∴$\frac{PA}{2}=\frac{5k}{3k}$，
∴PA=$\frac{10}{3}$

点评 本题考查了切线的性质与相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握圆的切线的性质与判定以及圆的弦、弧、直径之间的位置关系及性质