Question

如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝，BD＝BC，ED⊥AB交AC于点E，CD与BE相交于F．求证：BE垂直且平分CD．

Answer 1

答案：
解析：

证法一：∵ED⊥AB， 　　∴∠EDB＝． 　　∵BD＝BC，EB＝EB， 　　∴Rt△EDB≌Rt△ECB(HL)， 　　∴∠EBD＝∠EBC， 　　∴BF是∠CBD的角平分线． 　　∵BD＝BC， 　　∴△CDB是等腰三角形， 　　∴BF⊥CD，DF＝CF， 　　∴BE垂直且平分CD． 　　证明二：∵BD＝BC， 　　∴B在CD的垂直平分线上，(要证明一条直线垂直平分另一条线段，就要找到直线上的点到该线段两个端点的距离．) 　　∴∠BCD＝∠BDC． 　　∵ED⊥AB， 　　∴∠EDB＝． 　　∵∠ACB＝， 　　∴∠ACB＝∠EDB． 　　∵∠EDC＝∠EDB－∠CDB， 　　∠ECD＝∠ACB－∠DCB， 　　∴∠EDC＝∠ECD， 　　∴ED＝CE， 　　∴E在CD的垂直平分线上， 　　∴BE是CD的垂直平分线．

提示：

注：方法一利用了等腰三角形三线合一的性质，方法二根据垂直平分线的定义来证明．