题目内容
（2013•闵行区三模）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过A（1，1）、B（0，4）两点，M为抛物线的顶点．（1）求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标；
（2）设由（1）求得的抛物线的对称轴为直线l，点A关于直线l的对称点为点C，AC与直线l相交于点D，联结OD、OC．请直接写出C与D两点的坐标，并求∠COM+∠DOM的度数．
分析：（1）将已知两点的坐标代入的函数的解析式中求得b、c的值后配方即可确定顶点坐标；
（2）首先确定该抛物线的对称轴，然后利用两点之间的距离公式求得OC、OE和CE，利用勾股定理的逆定理得到∠OEC=90°于是，由OE=CE，得∠COE=45°，即得∠COM+∠DOM=∠COE=45°．
（2）首先确定该抛物线的对称轴，然后利用两点之间的距离公式求得OC、OE和CE，利用勾股定理的逆定理得到∠OEC=90°于是，由OE=CE，得∠COE=45°，即得∠COM+∠DOM=∠COE=45°．
解答：解：（1）由抛物线y=x2+bx+c经过A（1，1）、B（0，4）两点，
得
解得
∴所求抛物线的表达式为y=x2-4x+4．
由 y=x2-4x+4，得 y=（x-2）2．
即得该抛物线的顶点M的坐标为（2，0）．
（2）由（1）得抛物线的对称轴是直线x=2．
根据题意，C与D两点的坐标分别是C（3，1）、D（2，1）．
设点D关于x轴的对称点为点E，连接OE，CE．
则点E的坐标为E（2，-1），且∠DOM=∠EOM．
利用两点间距离公式，
得OC=
=
，
OE=
=
，
CE=
=
．
∴OE=CE，OC2=10，OE2+CE2=5+5=10．
即得 OE2+CE2=OC2．
∴∠OEC=90°
于是，由OE=CE，得∠COE=45°．
即得∠COM+∠DOM=∠COE=45°．
得
|
解得
|
∴所求抛物线的表达式为y=x2-4x+4．
由 y=x2-4x+4，得 y=（x-2）2．
即得该抛物线的顶点M的坐标为（2，0）．
（2）由（1）得抛物线的对称轴是直线x=2．
根据题意，C与D两点的坐标分别是C（3，1）、D（2，1）．
设点D关于x轴的对称点为点E，连接OE，CE．
则点E的坐标为E（2，-1），且∠DOM=∠EOM．
利用两点间距离公式，
得OC=
| 32+12 |
| 10 |
OE=
| 22+(-1)2 |
| 5 |
CE=
| (3-2)2+(1+1)2 |
| 5 |
∴OE=CE，OC2=10，OE2+CE2=5+5=10．
即得 OE2+CE2=OC2．
∴∠OEC=90°
于是，由OE=CE，得∠COE=45°．
即得∠COM+∠DOM=∠COE=45°．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理等知识，涉及面较广，难度较大．
练习册系列答案
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