Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，直线与轴相交于点，连结，抛物线沿射线方向平移得到抛物线，抛物线与直线交于点，设抛物线的顶点的横坐标为．

（1）求抛物线的解析式（用含的式子表示）；

（2）连结，当时，求点的坐标；

（3）点为轴上的动点，以为直角顶点的与相似，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3） 1或3或4

【解析】

（1）先求出OA的解析式，然后根据点M的横坐标求出纵坐标，即可求出平移的距离，然后利用二次函数图象的平移规律即可得到抛物线的解析式；

（2）分两种情况，点P在A点上方和点P在A点下方，分别画出相应的图象，然后分情况讨论即可求出m的值，进一步即可求出P点的坐标；

（3）利用相似三角形的性质，分和两种情况，然后利用相似三角形的性质进行讨论即可得出答案．

（1）设直线OA的解析式为，

将代入解析式中得 ，解得 ，

∴直线OA解析式为 ．

∵抛物线的顶点在OA上，且横坐标为，

∴，

∴ ．

∵抛物线，

∴抛物线的解析式为；

（2）∵P点的横坐标为2，

∴纵坐标为，

．

若点P在A点上方，如图

，

，

∴ ，

解得（舍去）或 ，

当时，，

∴点P的坐标为 ；

若点P在A点下方，如图，作线段OD交AB于点D，使，过点D作OA的垂线交OA的延长线于点N，交OP的延长线于点，

点D的坐标即点P在点A上方时点P的坐标，所以．

∵直线OA解析式为，，

∴设直线的解析式为 ，

将点D的坐标代入得， ，

∴直线的解析式为．

设的坐标为，则 且，

解得（即点D的坐标），

∴．

设直线的解析式为，

将代入解析式中得 ，解得，

∴直线解析式为．

当时，，

∴点P的坐标为 ，

综上所述，点P的坐标为或；

（3）如图，若 ，则有 ，

∴ ．

过点M作 交AB于点G，过点Q作交AB于点H，

∵，

．

，

，

，

，

即，

解得或 ；

同理，若 ，解得或,

当时，抛物线与抛物线重合，故舍去，

综上所述，m的值为1或3或4．