Question

已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．
（1）当DG=2时，求△FCG的面积；
（2）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；
（3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）要求△FCG的面积，可以转化到面积易求的三角形中，通过证明△DGH≌△CFG得出．
（2）欲求△FCG的面积，由已知得CG的长易求，只需求出GC边的高，通过证明△AHE≌△MFG可得；
（3）若S_△FCG=1，由S_△FCG=6-x，得x=5，此时，在△DGH中，HG=

41

．相应地，在△AHE中，AE=

37

＞6，即点E已经不在边AB上．故不可能有S_△FCG=1．

解答：解：（1）∵正方形ABCD中，AH=2，
∴DH=4，
∵DG=2，
∴HG=2

5

，即菱形EFGH的边长为2

5

．
在△AHE和△DGH中，
∵∠A=∠D=90°，AH=DG=2，EH=HG=2

5

，
∴△AHE≌△DGH（HL），
∴∠AHE=∠DGH，
∵∠DGH+∠DHG=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，即菱形EFGH是正方形，
同理可以证明△DGH≌△CFG，
∴∠FCG=90°，即点F在BC边上，同时可得CF=2，
从而S_△FCG=

1

2

×4×2=4．（2分）

（2）作FM⊥DC，M为垂足，连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF．
在△AHE和△MFG中，

∠A=∠M ∠AEH=∠FGM HE=FG

∴△AHE≌△MFG（AAS），
∴FM=HA=2，
即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2．
因此S_△FCG=

1

2

×2×（6-x）=6-x．（6分）

（3）若S_△FCG=1，由S_△FCG=6-x，得x=5，
∴在△DGH中，HG=

41

，
∴在△AHE中，AE=

37

＞6，即点E已经不在边AB上．
∴不可能有S_△FCG=1．（9分）
另法：∵点G在边DC上，
∴菱形的边长至少为DH=4，
当菱形的边长为4时：
∵点E在AB边上且满足AE=2

3

，此时，当点E逐渐向右运动至点B时，HE的长（即菱形的边长）将逐渐变大，
∴最大值为HE=2

10

．
此时，DG=2

6

，故0≤x≤2

6

．
∵函数S_△FCG=6-x的值随着x的增大而减小，
∴当x=2

6

时，S_△FCG取得最小值为6-2

6

．
又∵6-2

6

＞6-2

6.25

=1，
∴△FCG的面积不可能等于1．（9分）

点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质．搞清楚菱形、正方形中的三角形的三边关系，同时考查了全等三角形的判定和性质．