题目内容

设a，b都是正整数，若二次函数y=a²+bx+1的图象与x轴有两个交点，且这两个交点的横坐标x₁，x₂，满足-1＜x₁＜x₂＜0，
求：正整数a，b的最小值及此时x₁，x₂的值．

解：解法1：依题意，x₁，x₂为方程ax²+bx+1=0的两实根，
则b²-4a＞0①
x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ ②，
∵-1＜x₁＜x₂＜0，
∴1+x₁＞0，1+x₂＞0，
即（1+x₁）（1+x₂）＞0，
∴（1+x₁）（1+x₂）=1+x₁+x₂+x₁x₂=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞0，
而a＞0，
∴a-b+1＞0，即：a＞b+1，又a，b都是正整数，则a≥b③，
由①得，b＞2 $\text{[math]}$ ④，
由③、④得a＞2 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ＞2，
∴a＞4，因此正整数a的最小值为5．
由④得：b＞2 $\text{[math]}$ ＞4，
∴正整数b的最小值为5，
当a=b=5时，ax²+bx+1=0的根为x= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
解法2：依题意：y=ax²+bx+1=a（x-x₁）（x-x₂），
令x=-1得：a（-1-x₁）（-1-x₂）=a-b+1，
即a（1+x₁）（1+x₂）=a-b+1，
∵-1＜x₁＜x₂＜0，
∴1+x₁＞0，1+x₂＞0，
即（1+x₁）（1+x₂）＞0，
∴a（1+x₁）（1+x₂）=a-b+1＞0，
而a，b为正整数，则a（1+x₁）（1+x₂）=a-b+1≥1，
而x₁x₂= $\text{[math]}$ ，
∴a²（1+x₁）（1+x₂）x₁x₂=a-b+1≥1，
∴a²≥ $\text{[math]}$ ，
由于0＜（1+x₁）（-x₁）=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时取最大值；
同理0＜（1+x₂）（-x₂）=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，当x₂= $\text{[math]}$ 时取最大值；
而-1＜x₁＜x₂＜0，
∴0＜（1+x₁）（1+x₂）x₁x₂=（1+x₁）（-x₁）（1+x₂）（-x₂）＜ $\text{[math]}$ ，
从而a²≥ $\text{[math]}$ ＞16，
而a为正整数，所以a的最小值为5，
由于x₁，x₂为方程ax²+bx+1=0的两实根，则b²-4a＞0，
∴b＞2 $\text{[math]}$ ＞4，
∴正整数b的最小值为5，
当a=b=5时，ax²+bx+1=0的根为x= $\text{[math]}$ ，
∴x₁= $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ．
分析：先根据根与系数的关系得到x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ ，再利用-1＜x₁＜x₂＜0得到（1+x₁）（1+x₂）＞0，进而得到（1+x₁）（1+x₂）=1+x₁+x₂+x₁x₂=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞0，可推出a、b的取值范围值，进而求出a、b的值．
点评：此题考查了抛物线与x轴的交点坐标，根据函数特点及根与系数的关系得到关于a、b的不等式，再求出其具体值是解题的重要环节．