Question

（1）定义f(x)=

1

3 x2+2x+1 + 3 x2-1 + 3 x2-2x+1

，求f（1）+f（3）+…+f（2k-1）+f（999）的值；
（2）设x、y都是正整数，且使

x-116

+

x+100

=y，求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）将定义的式子根据立方差公式化简，找出一般规律，再代值计算，寻找抵消规律；
（2）已知等式右边为整数，左边的两个二次根式必为整数，故设x-116=m²，x+100=n²，两式相减利用平方差公式进行求解．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

3 x2+2x+1 + 3 x2-1 + 3 x2-2x+1

=

3 x+1 - 3 x-1

[ 3 (x+1)2 + 3 (x+1)(x-1) + 3 (x-1)2 ]( 3 x+1 - 3 x-1 )

=

3 x+1 - 3 x-1

2

，
∴原式=

3 2

2

+

3 4 - 3 2

2

+

3 6 - 3 4

2

+…+

3 1000 - 3 998

2

=5；
（2）∵x-116、x+100、y都为整数，
∴

x-116

、

x+100

必为整数，
设x-116=m²，x+100=n²，（m＜n，m、n为正整数）
两式相减，得n²-m²=（n+m）（n-m）=216=4×54=2×108，
当m+n=108时，y的值最大，最大值为108．

点评：本题考查了立方根的化简，寻找抵消规律，二次根式与整数的关系问题，运用了立方差公式、平方差公式，具有一定的综合性．