Question

函数y=|x²-1|+|2x²-1|+|3x²-1|取得最小值1时，求自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：本题可令x²=t（t≥0），然后分段讨论t的范围从而去掉绝对值，①0≤t＜

1

3

，②

1

3

≤t≤

1

2

，③

1

2

＜t≤1，④t＞1，这样可得出每一段y的取值范围，综合起来可得出y取1时t的取值范围，也就能得出符合题意的自变量x的取值范围．

解答：解：令x²=t（t≥0），则y=|t-1|+|2t-1|+|3t-1|，
①当0≤t＜

1

3

时，y=1-t+1-2t+1-3t=3-6t，此时可得1＜y≤3；
②当

1

3

≤t≤

1

2

时，y=1-t+1-2t+3t-1=1，此时可得y=1-t+1-2t+3t-1=1；
③当

1

2

＜t≤1时，y=1-t+2t-1+3t-1=4t-1，此时可得1＜y≤3；
④当t＞1时，y=t-1+2t-1+3t-1=6t-3，此时可得y＞3．
综上可得，当

1

3

≤t≤

1

2

是时，y_min=1，
故由

1

3

≤x²≤

1

2

，知当y_min=1时，-

2

2

≤x≤-

3

3

或

3

3

≤x≤

2

2

．

点评：此题考查了函数的最值问题，解答本题的关键是利用换元法，将t代替x²进行计算，难点在于分段讨论t的取值范围，从而去掉绝对值进行运算，难度较大．