Question

【题目】如图，直线y＝-x-3与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴的另一个交点为点B(2，0)，点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AD，DC．设点D的横坐标为m．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点D在第三象限，设△DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；

(3)连接BC，若∠EAD＝∠OBC，请直接写出此时点D的坐标．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2+x﹣3；(2)S△ADC=﹣(m+3)2+；△ADC的面积最大值为；此时D(﹣3，﹣)；(3)满足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21).

【解析】

（1）求出A坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE与AC的交点为点F.设点D的坐标为：(m，m2+m﹣3)，则点F的坐标为：(m，﹣m﹣3)，根据S△ADC＝S△ADF+S△DFC求出解析式，再求最值；（3）①当点D与点C关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．

②作点D(﹣4，﹣3)关于x轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y＝x+9，解方程组求出函数图像交点坐标.

解：(1)在y＝﹣x﹣3中，当y＝0时，x＝﹣6，

即点A的坐标为：(﹣6，0)，

将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y＝ax2+bx﹣3得：

，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣3；

(2)设点D的坐标为：(m，m2+m﹣3)，则点F的坐标为：(m，﹣m﹣3)，

设DE与AC的交点为点F.

∴DF＝﹣m﹣3﹣(m2+m﹣3)＝﹣m2﹣m，

∴S△ADC＝S△ADF+S△DFC

＝DFAE+DFOE

＝DFOA

＝×(﹣m2﹣m)×6

＝﹣m2﹣m

＝﹣(m+3)2+，

∵a＝﹣＜0，

∴抛物线开口向下，

∴当m＝﹣3时，S△ADC存在最大值，

又∵当m＝﹣3时，m2+m﹣3＝﹣，

∴存在点D(﹣3，﹣)，使得△ADC的面积最大，最大值为；

(3)①当点D与点C关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．

②作点D(﹣4，﹣3)关于x轴的对称点D′(﹣4，3)，

直线AD′的解析式为y＝x+9，

由，解得或，

此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件，

综上所述，满足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21