Question

小丽剪了一些直角三角形纸片，她取出其中的几张进行了如下的操作：

（1）操作一：如上图，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE。
①如果AC=6cm，BC=8cm，试求△ACD的周长。
②如果∠CAD：∠BAD=4：7，求∠B的度数。
（2）操作二：如图，小丽拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，已知两直角边AC=6cm，BC=8cm，你能求出CD的长吗？

（3）操作三：如图，小丽又拿出另一张Rt△ABC纸片，将纸片折叠，折痕CD⊥AB。你能证明：BC²+AD²=AC²+BD² 吗？

Answer 1

解：（1）①由对称性可得AD=BD，
∵△ACD的周长=AC+CD+AD
∴△ACD的周长=AC+CD+BD=AC+BC=8+6=14（㎝）；
②设∠CAD=4x ，∠BAD=7x
由题意得方程：7x+7x+4x=90
解之得：x=5
所以∠B=35；
（2）设CD= x，则BD=8-x，DE=x
由题意可得方程
解之得：x=3
所以CD=3㎝；
（3）在Rt△BCD中，由勾股定理可得

在Rt△ACD中，由勾股定理可得
AD²+CD²= AC²
∴BC²+AD²=BD²+CD²+AD²= AC²+BD² ；