Question

如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,勾股定理,矩形的性质

专题：几何图形问题

分析：根据线段中点的定义可得CG=DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=CF，EG=FG，设DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC=AD．

解答：解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB=8，
∴CG=DG=

1

2

×8=4，
在△DEG和△CFG中，

∠D=∠DCF=90° CG=DG ∠DGE=∠CGF

，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE=CF，EG=FG，
设DE=x，
则BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，
在Rt△DEG中，EG=

DE2+DG2

=

x2+16

，
∴EF=2

x2+16

，
∵FH垂直平分BE，
∴BF=EF，
∴4+2x=2

x2+16

，
解得x=3，
∴AD=AE+DE=4+3=7，
∴BC=AD=7．
故答案为：7．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．