Question

【题目】已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．

（1）求证：PM＝PN；

（2）联结MN，求证：PD是MN的垂直平分线．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）见解析

【解析】

（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可得到答案；

（2）利用“HL”证明Rt△PDM≌Rt△PDN，根据全等三角形对应边相等可得DM＝DN，然后根据线段的垂直平分线性质定理的逆定理即可得到结论；

解：(1) ∵BD为∠ABC的平分线，

∴∠ABD＝∠CBD，

在△ABD和△CBD中，

,

∴△ABD≌△CBD（SAS），

∴∠ADB＝∠CDB，

∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，

∴PM＝PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）；

（2）在Rt△PDM和Rt△PDN中，

，

∴Rt△PDM≌Rt△PDN（HL），

∴DM＝DN，

∴D在MN的垂直平分线上，

∵PM＝PN，

∴P在MN的垂直平分线上，

∴PD是MN的垂直平分线．