Question

15．已知关于x的方程x²-2ax+a-1=0；
（1）求证：方程必有两个不相等的实数根．
（2）当a取何值时，方程的两根都是正数？

Answer 1

分析 （1）求出△=（-2a）²-4×1×（a-1）=4a²-4a+4=（2a-1）²+3＞0，再根据根的判别式判断即可；
（2）设方程的两个根为x₁，x₂，根据根与系数的关系得出x1+x₂=2a，x₁•x₂=a-1，根据题意得出2a＞0且a-1＞0，求出解集即可．

解答 （1）证明：△=（-2a）²-4×1×（a-1）=4a²-4a+4=（2a-1）²+3，
∵不论a为何值，（2a-1）²+3＞0，
∴△＞0，
所以方程必有两个不相等的实数根；

（2）解：设方程的两个根为x₁，x₂，
则x₁+x₂=2a，x₁•x₂=a-1，
∵方程的两根都是正数，
∴2a＞0且a-1＞0，
解得：a＞1，
当a＞1时，方程的两根都是正数．

点评 本题考查了解不等式组，根的判别式，根与系数的关系的应用，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键．