Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P为△ABC外一点（P与C在直线AB异侧），且∠APB=45°，过点C作CD⊥PA，垂足为D．

（1）求证：PA=2CD；
（2）设点P关于AB的对称点为E，连接PE、CE，试判定线段AB与CE的数量关系，并给予证明．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，可得AP与AF的关系，根据相似三角形的判定与性质，可得AF与CD的关系，根据等量代换，可得答案；
（2）根据等腰直角三角形的性质，可得∠ACM=∠BCM=45°，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得△CIN∽△EIB，根据相似三角形的性质，可得对应边的比相等，根据线段垂直平分线的性质，可得NA=NB，根据等腰三角形的判定，可得AC=CE，

解答：证明：（1）过点A作AF⊥BP于点F，
∵∠BPA=45°，
∴∠FAP=∠FPA=45°，
∴

AP

AF

=

2

，
∴AP=

2

AF．
∵∠ABF=∠BAP+∠P=∠BAP+45°，
又∵∠CAD=∠BAP+∠CAB=∠BAP+45°
∴∠CAD=∠FBA．
又∵∠ADC=∠AFB=90°
∴△CAD∽△ABF
∴

AF

CD

=

AB

AC

=

2

∴AF=

2

CD
∴AP=

2

AF=2CD；
（2）作CM⊥AB于点M，交AE于点N，连接BN，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACM=∠BCM=45°，AB=

2

AC，
∵∠BAP=45°
又∵点P、点E关于AB对称
∴∠APB=∠AEB=45°，
∴∠BCM=∠AEB=45°．
又∵∠CIN=∠EIB
∴△CIN∽△EIB
∴

CI

EI

=

NI

BI

，
∴

CI

NI

=

EI

BI

，
又∵∠CIE=∠NIB
∴△NIB∽△CIE
∴∠CEI=∠IBN
∵CM⊥AB，AM=MB，相似三角形的判定与性质，
∴NA=NB，
∴∠NAB=∠NBA，
∴∠CAN=∠CBN，
∴∠CAE=∠CEA，
∴CA=CE．
又∵AB=

2

AC，
∴AB=

2

CE．

点评：本题考查了相似形综合题，利用了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质是解题关键．