Question

已知直线y=kx+3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒。
（1）当k=-1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）。
①直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标；
②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值；
（2）当k=-时，设以C为顶点的抛物线y=（x+m）²+n与直线AB的另一交点为D（如图2）。
①求CD的长；
②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？

Answer 1

解：（1）①C（1，2），Q（2，0）； ②由题意得：P（t，0），C（t，-t+3），Q（3-t，0）， 分两种情况讨论： 情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC=∠AOB=90°， ∴CQ⊥OA， ∵CP⊥OA， ∴点P与点Q重合，OQ=OP， 即3-t=t， ∴t=1.5； 情形二：当△AQC∽△AOB时，∠ACQ=∠AOB=90°， ∵OA=OB=3， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴△ACQ也是等腰直角三角形， ∵CP⊥OA， ∴AQ=2CP， 即t=2（-t+3）， ∴t=2， ∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒；
（2）①由题意得：C（t，-） ∴以C为顶点的抛物线解析式是y=， 由， 解得， 过点D作DE⊥CP于点E， 则∠DEC=∠AOB=90°， ∵DE∥OA， ∴∠EDC=∠OAB， ∴△DEC∽△AOB ∴ ∵AO=4，AB=5，DE= ∴CD=； ②∵， CD边上的高=， ∴， ∴S△COD为定值， 要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短， 因为当OC⊥AB时OC最短， 此时OC的长为，∠BCO=90° ∵∠AOB=90° ∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA 又∵CP⊥OA ∴Rt△PCO∽Rt△OAB ∴，OP=， 即t= ∴当t为秒时，h的值最大。