Question

观察下面的一列数：

1

2

，-

1

6

，

1

12

，-

1

20

…请你找出其中排列的规律，并按此规律填空：
（1）第9个数是

 

，第14个数是

 

．
（2）若n是大于1的整数，按上面的排列规律，那么第n个数是

 

？（用含n的代数式表达）

Answer 1

分析：（1）已知的一列数等价为：

1

1×2

，-

1

2×3

，

1

3×4

，-

1

4×5

…可以发现分子永远为1，分母是两个相邻数的乘积，且其中一个为项的序号，奇数项永远为正数，偶数项永远为负数，由此规律推出第9个数和第14个数；
（2）根据规律写出通项公式为（-1）ⁿ⁺¹

1

n(n+1)

．

解答：解：（1）题中的一列数可以等价为：

1

1×2

，-

1

2×3

，

1

3×4

，-

1

4×5

…
经观察发现：各项的分子均为1，分母为各项的序号数×（各项序号数+1），
且奇数项是正数，偶数项是负数．
所以可以得出第n个数是（-1）ⁿ⁺¹

1

n(n+1)

，n≥1；
即：第9个数为：（-1）¹⁰×

1

9×10

=

1

90

，第14个数为：（-1）¹⁵×

1

14×15

=-

1

210

；
（2）第n个数是：(-1)n+1

1

n(n+1)

．
故答案为：

1

90

，-

1

210

；(-1)n+1

1

n(n+1)

．

点评：本题是规律型，主要考查通过原来一列数的等价变换，得出各项的变化规律及由变化写出求任意一项时的规律式．