Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．

（1）求证：∠ADC=∠AOF；

（2）若sinC=，BD=8，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2．

【解析】

（1）连接OD，根据CD是⊙O的切线，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根据OF⊥AD，∠AOF+∠DAO=90°，根据OD=OA，可得∠ODA=∠DAO，即可证明；

（2）设半径为r，根据在Rt△OCD中，，可得，AC=2r，由AB为⊙O的直径，得出∠ADB=90°，再根据推出OF⊥AD，OF∥BD，然后由平行线分线段成比例定理可得，求出OE，，求出OF，即可求出EF．

（1）证明：连接OD，

∵CD是⊙O的切线，

∴OD⊥CD，

∴∠ADC+∠ODA=90°，

∵OF⊥AD，

∴∠AOF+∠DAO=90°，

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠DAO，

∴∠ADC=∠AOF；

（2）设半径为r，

在Rt△OCD中，，

∴，

∴，

∵OA=r，

∴AC=OC-OA=2r，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

又∵OF⊥AD，

∴OF∥BD，

∴，

∴OE=4，

∵，

∴，

∴．