Question

由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45°，从A沿倾斜角为30°的山坡前进1500米到B，再次测得山顶D的仰角为60°．
（1）求线段BD的长；
（2）求山高．（结果保留根号）

Answer 1

解：（1）设BF=x米，
过点B作BE⊥AC于E，作BF⊥CD于F，
∴四边形BFCE是矩形，
∴BF=EC，CF=BE，
由题意得：∠DAC=45°，∠BAE=30°，∠DBF=60°，AB=1500米，
在Rt△ABE中，BE=AB=750（米），AE=AB•cos∠BAE=1500×=750（米），
∴CF=BE=750米，
∵∠DAC=45°，DC⊥AC，
∴AC=CD，
在Rt△BDF中，BD==2x（米），DF=BF•tan∠DBF=x（米），
∴750+x=x+750，
∴x=750，
∴BF=750米，
∴BD=1500米；

（2）∵DF=x=750（米），CF=750米，
∴CD=DF+CF=750+750（米）．
∴山高为（750+750）米．
分析：（1）首先设BF=x米，过点B作BE⊥AC于E，作BF⊥CD于F，可得四边形BFCE是矩形，然后再在Rt△ABE中，求得AE与BE的长，则可用x表示出AC与CD的长，又由AC=CD，可得方程：750+x=x+750，解此方程即可求得答案；
（2）由（1）可知CF与DF的长，则可求得山高．
点评：本题考查仰角的定义．难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．