题目内容

如图1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．

（1）PA=；PB=（用含x的式子表示）
（2）在数轴上是否存在点P，使PA+PB=5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P以1个单位/s的速度从点D向右运动，同时点A以5个单位/s的速度向左运动，点B以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，问： $数学公式$ 的值是否发生变化？请说明理由．

解：（1）∵数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x，
∴PA=|x+1|；PB=|x-3|（用含x的式子表示）；
故答案为：|x+1|，|x-3|；

（2）分三种情况：
①当点P在A、B之间时，PA+PB=4，故舍去．
②当点P在B点右边时，PA=x+1，PB=x-3，
∴（x+1）（x-3）=5，
∴x=3.5；
③当点P在A点左边时，PA=-x-1，PB=3-x，
∴（-x-1）+（3-x）=5，
∴x=-1.5；

（3） $\text{[math]}$ 的值不发生变化．
理由：设运动时间为t分钟．则OP=t，OA=5t+1，OB=20t+3，
AB=OA+OB=25t+4，AP=OA+OP=6t+1，
AM= $\text{[math]}$ AP= $\text{[math]}$ +3t，
OM=OA-AM=5t+1-（ $\text{[math]}$ +3t）=2t+ $\text{[math]}$ ，
ON= $\text{[math]}$ OB=10t+ $\text{[math]}$ ，
∴MN=OM+ON=12t+2，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2，
∴在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点， $\text{[math]}$ 的值不发生变化．
分析：（1）根据数轴上两点之间的距离求法得出PA，PB的长；
（2）分三种情况：①当点P在A、B之间时，②当点P在B点右边时，③当点P在A点左边时，分别求出即可；
（3）根据题意用t表示出AB，OP，MN的长，进而求出答案．
点评：此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意利用分类讨论得出是解题关键．