Question

如图，在平面直角坐标系中，A、B是x铀上的两点，C是y轴上的一点．∠ACB=90°，∠CAB=30°，AO、BO为直径的半圆分别交AC、BC于E、F两点，若C点的坐标为（0，4）．
（1）求图象过A、B、C三点的二次函数的解析式；
（2）求图象过点E、F的一次函数的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数易得OA，OB长，得到A，B坐标，运用待定系数法求二次函数解析式；
（2）连接OE，作EM⊥x轴于点M．利用三角函数可得点E坐标，同法求得F坐标，代入一次函数解析式即可．

解答：解：（1）由题意得OC=4．
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴OA=4

3

，A（-4

3

，0）．
同理可得B（

4 3

3

，0）．
设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，
则48a-4

3

b+c=0，

16

3

a+

4 3

3

b+c=0，
c=4．
解得a=-0.25，b=

2

3

3

．
故二次函数解析式为y=-0.25x²+

2 3

3

x+4；

（2）连接OE，作EM⊥x轴于点M．
∵∠AEO=90°，∠CAB=30°，
∴OE=2

3

，∠AOE=60°．
∴OM=

3

，EM=3，
那么E（-

3

，3），同法可得F（

3

，1）．
设过EF的直线解析式为y=kx+b．
那么-

3

k+b=3；

3

k+b=1．
解得k=-

3

3

，b=2．
那么y=-

3

3

x+2．
故图象过点E、F的一次函数的解析式为y=-

3

3

x+2．

点评：本题主要考查了用待定系数法求函数解析式，关键是利用特殊三角函数值求得相应点的坐标．