Question

1．操作：小明准备制作一个制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：

说明：方案一：图形中的圆过点A、B、C；    
     方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点．
     方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点．
纸片利用率=$\frac{纸片被利用的面积}{纸片的总面积}$×100%
发现：（1）小明发现方案一中的点A．B恰好为该圆一直径的两个端点．你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．
（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率约为38.2%，你知道怎么算的吗？请你写出他的计算过程；
（3）对于方案二纸片的利用率，小明认为关键的是要求出此直角三角形的两直角边的长，你是这样想的吗？请你选用合适的方法求出方案二纸片的利用率．（结果精确到0.1%）
探究：
（4）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率：49.9%．（结果精确到0.1%）

Answer 1

分析 （1）连接AC、BC、AB，据每个小正方形的边长为1，可以证得∠ACB=90°，故问题可求．
（2）求得圆的半径后可以求得纸片的面积，从而利用展开图的面积除以总面积即可求得利用率；
（3）如图，作辅助线，利用三角形全等和三角形相似对应边成比例，可以分别求得直角三角形的两个直角边的长度，于是问题可求；
（4）利用方案（3）的方法，分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）小明的这个发现正确．
理由：如图1：连接AC、BC、AB，
∵AC=BC=$\sqrt{10}$，AB=$\sqrt{20}$；
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴AB为该圆的直径．
解法二：如图2：连接AC、BC、AB．
易证△AMC≌△BNC，
∴∠ACM=∠CBN．
又∵∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠BCN+∠ACM=90°，即∠ACB=90°，
∴AB为该圆的直径．…（3分）
（2）∵由题意知：AB=2$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴圆的半径为$\sqrt{5}$，∴圆的面积为5π，
∵展开图的面积为6，
∴利用率=$\frac{展开图的面积}{纸板的总面积}$×100%=$\frac{6}{5π}$×100%=38.2%；
（3）如图3：建立平面直角坐标系，可得E（2，3）、F（4，2）得直线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4，
∴A（0，4）B（8，0）
∴AC=4  BC=8．
∴S_△ACB=16．
∴该方案纸片利用率=$\frac{展开图的面积}{纸板的总面积}$×100%=$\frac{6}{16}$×100%=37.5%．
（4）探究：过点C作CD⊥EF于D，过点G作GH∥AC，交BC于点H，
设AP=a，
∵PQ∥EK，
易得△APQ∽△KQE，△CEF是等腰三角形，△GHL是等腰三角形，
∴AP：AQ=QK：EK=1：2，
∴AQ=2a，PQ=$\sqrt{5}$a，
∴EQ=5a，
∵EC：ED=QE：QK，
∴EC=$\frac{5}{2}$a，
则PG=5a+$\frac{5}{2}$a=$\frac{15}{2}$a，GL=$\frac{5}{2}\sqrt{5}$a，
∴GH=$\frac{25}{8}$a，
∵$\frac{GH}{2a+5a+\frac{5}{2}a}$=$\frac{GB}{GB+\frac{15}{2}a+a}$，
解得：GB=$\frac{25}{6}$a，
∴AB=$\frac{38}{3}$a，AC=$\frac{19}{2}$a，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×AC=$\frac{361}{6}$a²，
S_{展开图面积}=6×5a²=30a²，
∴该方案纸片利用率=$\frac{展开图的面积}{纸板的总面积}$×100%=$\frac{180}{361}$×100%=49.86%≈49.9%．

点评 此题考查了圆周角的性质，相似三角形与全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识．此题综合性很强，难度较大，解题时要注意数形结合思想的应用．