Question

在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且BE=2AE，BD是∠EBC的平分线．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．
（1）当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE=PD+

3

3

PQ；
（2）当点P在线段ED的延长线上时（如图2），请你猜想BE，PD，

3

3

PQ三者之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；
（3）当点P运动到线段ED的中点时（如图3），连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交BD于点G．若BC=12，求线段PG的长．

Answer 1

分析：（1）根据BE=2AE，BD是∠EBC的平分线可知∠ABE=30°，通过PQ∥BD，得到EQ=EP．过点E作EM⊥QP垂足为M构造直角三角形，利用三角函数或直角三角形的三边关系得到PE=

3

3

PQ．那么BE=DE=PD+PE=PD+

3

3

PQ；
（2）直接有（1）中的思路和图形上线段之间的关系可猜得BE=

3

3

PQ-PD；
（3）先连接PC交BD于点N，构造直角三角形，利用三角函数求得∠DPC=60°，再证明△PNG∽△QPC，利用其比例线段可求得PG=

2 21

3

．

解答：证明：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形．
∴∠A=∠ABC=∠C=90°，AD∥BC．
∴∠EDB=∠DBC．
∵BE=2AE．
∴∠ABE=30°．
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60度．
∵BD是∠EBC的平分线．
∴∠EBD=∠DBC=

1

2

∠EBC=∠EDB=30度．
∴EB=ED．
∵PQ∥BD．
∴∠EQP=∠EBD，∠EPQ=∠EDB．
∴∠EPQ=∠EQP=30°．
∴EQ=EP．
过点E作EM⊥QP垂足为M．
∴PQ=2PM．
∵PM=PE•cos∠EPM=PE•cos30°=

3

2

PE．
∴PE=

3

3

PQ．（1分）
∵BE=DE=PD+PE，∴BE=PD+

3

3

PQ．（2分）

（2）解：当点P在线段ED的延长线上时，猜想：BE=

3

3

PQ-PD．（4分）

（3）解：连接PC交BD于点N（如图3）
∵点P是线段ED的中点，BE=DE=2AE，BC=12．
∴EP=PD=4．
∵DC=BC•tan30°=4

3

．
∴PC=

PD2+DC2

=8，BD=

BC2+DC2

=8

3

．
∴cos∠DPC=

PD

PC

=

1

2

．
∴∠DPC=60度．
∵PQ∥BD，
∴PQ=

1

2

BD=4

3

．
∵∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90°，∠PND=∠PNG=90度．
∴PN=

1

2

PD=2，QC=

PQ2+PC2

=4

7

．（5分）
∵∠PGN=90°-∠FPC，∠PCF=90°-∠FPC．
∴∠PGN=∠PCF．
∵∠PND=∠QPG=90°．
∴△PNG∽△QPC．（6分）
∴

PG

QC

=

PN

QP

．
∴PG=

2×4 7

4 3

=

2 21

3

．（7分）

点评：主要考查了角平分线的性质和矩形的性质以及相似三角形的性质．解题的关键是能够通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数或直角三角形的特殊性质以及相似三角形中的成比例线段求位置线段的长度或比值．