Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+4与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C．

(1)求点A，点B的坐标；

(2)求△ABC的面积；

(3)P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值．

Answer 1

【答案】(1)A(﹣4，0)，B(2，0)；(2)S△ABC＝12；(3)当x＝﹣2时，△ACP最大面积4

【解析】

（1）令y=0，解一元二次方程可得A，B坐标.
（2）求出C点坐标可求，△ABC的面积.
（3）作PD⊥AO交AC于D，设P的横坐标为t，用t表示PD和△ACP的面积，得到关于t的函数，根据二次函数的最值的求法，可求△ACP面积的最大值．

解：(1)设y＝0，则0＝﹣x2﹣x+4

∴x1＝﹣4，x2＝2

∴A(﹣4，0)，B(2，0)

(2)令x＝0，可得y＝4

∴C(0，4)

∴AB＝6，CO＝4

∴S△ABC＝×6×4＝12

(3)如图：作PD⊥AO交AC于D

设AC解析式y＝kx+b

∴

解得：

∴AC解析式y＝x+4

设P(t，﹣ t2﹣t+4)则D(t，t+4)

∴PD＝(﹣t2﹣t+4)﹣(t+4)＝﹣t2﹣2t＝﹣(t+2)2+2

∴S△ACP＝PD×4＝﹣(t+2)2+4

∴当x＝﹣2时，△ACP最大面积4