Question

15．如图1，我们在2016年1月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）．该十字星的十字差为12×14-6×20=48，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．
（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为24．
（2）若将正整数依次填入k列的长方形数表中（k≥3），继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论．
（3）如图3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的数在第32行，且其相应的“十字差”为2015，则这个十字星中心的数为976（直接写出结果）．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出相应的“十字差”，即可确定出所求定值；
（2）定值为k²-1=（k+1）（k-1），理由为：设十字星中心的数为x，表示出十字星左右两数，上下两数，进而表示出十字差，化简即可得证；
（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a-62，a+64，左右两个数为a-1，a+1，根据相应的“十字差”为2015求出a的值即可．

解答 解：（1）根据题意得：6×8-2×12=48-24=24；
故答案为：24；
（2）定值为k²-1=（k+1）（k-1）；
证明：设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x-1，x+1，上下两数分别为x-k，x+k（k≥3），
十字差为（x-1）（x+1）-（x-k）（x+k）=x²-1-x²+k²=k²-1，
故这个定值为k²-1=（k+1）（k-1）；
（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a-62，a+64，左右两个数为a-1，a+1，
根据题意得：（a-1）（a+1）-（a-62）（a+64）=2015，
解得：a=976．
故答案为：976．

点评 此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．