Question

7．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）两点，最低点的纵坐标为-4，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P在BC上，直接写出当OP+AP的值最小时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先利用对称性得到抛物线的对称轴为直线x=3，则顶点坐标为（3，-4），再设交点式y=a（x-1）（x-5），然后把（3，-4）代入求出a即可；
（2）作点O关于BC的对称点O′，连结O′A交BC于P，连结PO，CO′如图，利用两点之间线段最短得到此时点P使OP+AP的值最小，由C（0，5），B（5，0）判断直线BC的解析式为y=-x+5，△BOC为等腰直角三角形，则△COO′为等腰直角三角形，易得O′（5，5），接着利用待定系数法求出直线AO′的解析式为y=$\frac{5}{4}$x-$\frac{5}{4}$，然后通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{5}{4}x-\frac{5}{4}}\\{y=-x+5}\end{array}\right.$得P点坐标．

解答 解：（1）∵A（1，0）、B（5，0）两点为抛物线上的对称点
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
∴抛物线的顶点坐标为（3，-4），
设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-5），
把（3，-4）代入得a•2•（-2）=-4，解得a=1，
所以抛物线解析式为y=（x-1）（x-5），即y=x²-6x+5；
（2）作点O关于BC的对称点O′，连结O′A交BC于P，连结PO，CO′如图，
∵PO=PO′，
∴PO+PA=PO′+PA=OO′，
∴此时点P使OP+AP的值最小，
∵C（0，5），B（5，0），
∴直线BC的解析式为y=-x+5，△BOC为等腰直角三角形，
而CO=CO′，
∴△COO′为等腰直角三角形，
∴CO′⊥y轴，CO′=CO=5，
∴O′（5，5），
∴直线AO′的解析式为y=kx+b，
把A（1，0），O′（5，5）代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{5k+b=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{4}}\\{b=-\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线AO′的解析式为y=$\frac{5}{4}$x-$\frac{5}{4}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{5}{4}x-\frac{5}{4}}\\{y=-x+5}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{25}{9}}\\{y=\frac{20}{9}}\end{array}\right.$，
∴P点坐标为（$\frac{25}{9}$，$\frac{20}{9}$）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了最短路径问题．