Question

如图1，已知tan∠MON=2，点P是∠MON内一点，PC⊥OM，垂足为点C，PC=2，OC=6，A是OC延长线上一点，连接AP并延长与射线ON交于点B．
（1）当点P恰好是线段AB的中点时，试判断△AOB的形状，并说明理由；
（2）当CA的长度为多少时，△AOB是等腰三角形；
（3）设

AP

AB

=k，是否存在适当的k，使得

S△APC

S四边形OBPC

=k？若存在，试求出k的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点B作BE⊥OM，垂足为点E，根据中位线的性质得到BE=4，再根据正切的定义得到OE=2，EC=CA=4，易证得Rt△OBE≌Rt△PAC，得到∠OBE=∠OAB，∠AOB=∠CPA，而∠CPA=∠EBA，即可得到∠OBE+∠EBA=90°；
（2）设OE=a，则BE=2a，OB=

5

a，设CA=x，由PC∥BE，则

PC

BE

=

AC

AE

，可得到a=

x+6

x+1

，然后分类讨论：若OA=OB，即x+6=

x+6

x+1

•

5

；若AO=AB，即x+6=

4a2+(x+6-a)2

；若OB=AB时，OE=EA，a=

1

2

(x+6)，分别解方程即可得到x的值；
（3）同（2）设法一样，根据三角形的面积公式得到S_△APC=

1

2

•x•2=x，S_△ABO=

1

2

•2a•（x+6）=（x+6）a，由

AP

AB

=k，得

AP

AB

=

PC

BE

=

2

2a

，得到k=

1

a

，再根据题意得到

x

(x+6)a-x

=

1

a

，而a=

x+6

x+1

，即可得到关于x的方程，解方程即可．

解答：解：（1）△AOB为直角三角形．理由如下：
过点B作BE⊥OM，垂足为点E，如图，
∵PC⊥OM，
∴BE∥PC，
∵点P是线段AB的中点，PC=2，
∴BE=4，
又∵tan∠MON=2，tan∠MON=

BE

OE

=2，
∴OE=2，
∵OC=6，
∴EC=CA=4
∴Rt△OBE≌Rt△PAC，
∴∠OBE=∠OAB，∠AOB=∠CPA，
而∠CPA=∠EBA，
∴∠OBE+∠EBA=90°，
∴△OBA为直角三角形；

（2）设OE=a，则BE=2a，OB=

5

a
∵PC∥BE，
∴

PC

BE

=

AC

AE

，
设CA=x，则

2

2a

=

x

x+6-a

，
∴a=

x+6

x+1

，
∴OA=6+x，OB=

x+6

x+1

5

，
①若OA=OB，即x+6=

x+6

x+1

•

5

解得x=

5

-1；
②若AO=AB，即x+6=

4a2+(x+6-a)2

解得x=

3

2

；
③若OB=AB时，OE=EA，
∴a=

1

2

(x+6)，解得x=1；
综上，当CA的值分别为

5

-1、

3

2

、1时，△AOB是等腰三角形．

（3）存在．理由如下：
同（2）设CA=x，OE=a，
∵S_△APC=

1

2

•x•2=x，S_△ABO=

1

2

•2a•（x+6）=（x+6）a，
由

AP

AB

=k，得

AP

AB

=

PC

BE

=

2

2a

，
∴k=

1

a

，
∵

S△APC

S四边形OBPC

=k，
∴

x

(x+6)a-x

=

1

a

，
∴x=6a，
而a=

x+6

x+1

，
∴6•

x+6

x+1

=x，
解得x₁=9，x₂=-4（舍去），
∴k=

1

a

=

x+1

x+6

=

2

3

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比等于相似比．也考查了三角形的中位线定理以及解方程的方法．