Question

【题目】如图，在平行四边形中，，，，是射线上一点，连接，沿将三角形折叠，得三角形．

（1）当时，=_______度；

（2）如图，当时，求线段的长度；

（3）当点落在平行四边形的边上时，直接写出线段的长度．

Answer 1

【答案】（1）85或95或5；（2）；（3）或9

【解析】

（1）根据点P在线段AD上或AD的延长线上和点与AD的位置关系分类讨论，分别画出图形，根据折叠的性质即可求出结论；

（2）根据平行四边形的性质可推出，从而得出，作于，根据锐角三角函数和勾股定理求出AH和BH，利用锐角三角函数求出PH，即可求出结论；

（3）分点落在AD、BC、CD和AB上讨论，分别画出对应的图形，根据折叠的性质、锐角三角函数和勾股定理即可分别求出结论．

解：（1）①当点P在线段AD上，且点在直线AD右侧时，如下图所示

由折叠的性质可得；

②当点P在线段AD上，且点在直线AD左侧时，如下图所示

由折叠的性质可得；

③当点P在线段AD的延长线上时，如下图所示

由折叠的性质可得

综上：=85°或95°或5°

故答案为：85或95或5；

（2）在中，，

∵，

∴，

∴，

∴，

作于，如下图，

∴，

∴设，，

∴，

∴，

∴，．

在中，，

∴，

∴．

（3）①当点在上时，如下图，

∵，

∴，

∴，且，

∴，

设，，

∴，

∴，

∴；

②当在上时，如下图

由折叠可知，，，，

又∵，

∴，

∴．

∴，

∴四边形为菱形，

∴；

③当在CD上时，如下图，过点D作DM⊥AB于M，过点B作BN⊥CD于N

∴DM=BN，

∵

设，，

∴，

解得：x=1

∴BN=DM=12

∵在CD上

∴≥BN=12＞BA

∴此种情况不存在；

④当在AB上时，如下图，根据折叠的性质可得点与点A关于PB对称，即点在AB的延长线上，不符合题意．

综上：当点落在平行四边形的边上时，或9；