Question

如图，已知正△A₁B₁C₁边长为1，分别取△A₁B₁C₁三边的中点A₂，B₂，C₂，得到△A₂B₂C₂，用同样的方法，得到△A₃B₃C₃，依此下去，正△A_nB_nC_n的面积是

 

．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等边三角形的性质

专题：规律型

分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半分别求出各三角形的边长，再根据等边三角形的性质求解即可．

解答：解：由题意得，△A₂B₂C₂的边长为

1

2

，
△A₃B₃C₃的边长为（

1

2

）²，
△A₄B₄C₄的边长为（

1

2

）³，
…，
△A_nB_nC_n的边长为（

1

2

）^n-1，
所以，正△A_nB_nC_n的面积为

1

2

×[

3

2

×（

1

2

）^n-1]×（

1

2

）^n-1=

3

4

×（

1

4

）^n-1．
故答案为：

3

4

×（

1

4

）^n-1．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等边三角形的性质，熟记定理并求出第n个等边三角形的边长是解题的关键．