Question

【题目】在正方形 中，点是射线 上一个动点．连接，，点，分别为,的中点，连接交于点．

（1）如图 1，当点在线段 的延长线上时，请判断的形状，并说明理由．

（2）如图 2，正方形 的边长为 4，点与点 关于直线 对称，且点在线段 上．连接，若点 恰好在直线上，求的长．

Answer 1

【答案】（1）等腰三角形，证明见解析；（2）

【解析】

（1）延长 至，使，连接 ，先证得，再证即可解决本题；

（2）延长至 ，使 ，连接 ，先证，再证得，根据相似比求出即可.

（1）是等腰三角形，

延长 至，使，连接 ，

∵ ，

，即：，

∵四边形 是正方形，

∴ ，，

在和中，

（SAS），

，

∵ 是的中点，

∴ ，

∴ ，即： ，

∴ 是的中点，

又∵ 是 的中点，

∴ ，

∴，

∴ ，

∴ ，

∴是等腰三角形；

（2）延长至 ，使 ，连接 ，

∵ 是的中点，，

，

又∵，

，

∴ 是的中点，

∵，

，

又∵ ，

，

，

，

设 ，

即： ，

解之得： （舍去），

则.