Question

【题目】抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y=t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．

（1）求点A，B，D的坐标

（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；

（3）如图②，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，直接写出出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）点A的坐标为（，0），点B的坐标为（3，0），点D的坐标为（，）；（2）≤t≤；（3）存在，点P的坐标为（，0）、（，0）或（，0）、（1，0）．

【解析】

（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标；
（2）由点D的坐标结合对称找出点E的坐标，根据点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出t的取值范围；
（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m，分m＜或m＞3及≤m≤3两种情况，利用勾股定理找出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，进而可找出点P的坐标，此题得解．

解：（1）当y=0时，有﹣x2+x﹣1=0，

解得：x1=，x2=3，

∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（3，0）．

∵y=﹣x2+x﹣1=﹣（x2﹣x）﹣1=﹣（x﹣）2+，

∴点D的坐标为（，）．

（2）∵点E、点D关于直线y=t对称，

∴点E的坐标为（，2t﹣）．

当x=0时，y=﹣x2+x﹣1=﹣1，

∴点C的坐标为（0，﹣1）．

设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b，

将B（3，0）、C（0，﹣1）代入y=kx+b，

解得： ，

∴线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1．

∵点E在△ABC内（含边界），

∴，

解得：≤t≤．

（3）当x＜或x＞3时，y=- x2+ x-1；
当≤x≤3时，y=x2-x+1．
假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m．
①当m＜或m＞3时，点Q的坐标为（m，-m2+m-1）（如图1），

∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，
∴CP⊥PQ，
∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（-m2+m）2=m2+1+m2+（-m2+m-1）2，
整理，得：m1=，m2=，
∴点P的坐标为（，0）或（，0）；
②当≤m≤3时，点Q的坐标为（m，m2- m+1）（如图2），

∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，
∴CP⊥PQ，
∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2-m+2）2=m2+1+m2+（m2-m+1）2，
整理，得：11m2-28m+12=0，
解得：m3=，m4=2，
∴点P的坐标为（，0）或（1，0）．
综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为（，0）、（ ，0）、（1，0）或（，0）．