Question

【题目】在平面直角坐标系中,规定：抛物线y=a(xh) +k的关联直线为y=a(xh)+k.

例如：抛物线y=2(x+1) 3的关联直线为y=2(x+1)3，即y=2x1.

(1)如图,对于抛物线y=(x1) +3.

①该抛物线的顶点坐标为___，关联直线为___，该抛物线与其关联直线的交点坐标为___和___；

②点P是抛物线y=(x1) +3上一点,过点P的直线PQ垂直于x轴,交抛物线y=(x1) +3的关联直线于点Q.设点P的横坐标为m,线段PQ的长度为d(d>0)，求当d随m的增大而减小时，d与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围。

(2)顶点在第一象限的抛物线y=a(x1) +4a与其关联直线交于点A,B(点A在点B的左侧)，与x轴负半轴交于点C，直线AB与x轴交于点D，连结AC、BC.

①求△BCD的面积(用含a的代数式表示).

②当△ABC为钝角三角形时，直接写出a的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）①(1,3),y=x+4,(1,3)和(2,2)；②当m<1,d=m3m+2; m<2时,d=m+3m2；;（2）①9a;②0<a<或a>1.

【解析】

（1）①利用二次函数的性质和新定义得到抛物线的顶点坐标和关联直线解析式；然后解方程组 得该抛物线与其关联直线的交点坐标；

②设P（m，-m+2m+2），则Q（m，-m+4），如图1，利用d随m的增大而减小得到m<1或1<m<2，当m<1时，用m表示s得到d=m-3m+2；当1<m<2时，利用m表示d得到d=-m+3m-2，根据二次函数的性质得当m≥ ，d随m的增大而减小，所以≤m<2时，d=-m+3m-2；

（2）①先确定抛物线y=-a（x-1）+4a的关联直线为y=-ax+5a，再解方程组

得A（1，4a），B（2，3a），接着解方程-a（x-1）+4a=0得C（-1，0），解方程-ax+5a=0得D（5，0），然后利用三角形面积公式求解；

②利用两点间的距离公式得到AC=2+16a，BC=3+9a，AB=1+a，讨论：当AC+AB<BC，∠BAC为钝角，即2+16a+1+a<3+9a；当BC+AB<AC，∠BAC为钝角，即3+9a+1+a<2+16a，然后分别解不等式即可得到a的范围．

(1)①抛物线的顶点坐标为(1,3),关联直线为y=(x1)+3=x+4,

解方程组 得 或 ，

所以该抛物线与其关联直线的交点坐标为(1,3)和(2,2)；

故答案为(1,3),y=x+4,(1,3)和(2,2)；

②设P(m,m+2m+2)则Q(m,m+4)，如图1，

∵d随m的增大而减小，

∴m<1或1<m<2，

当m<1时,d=m+4(m+2m+2)=m3m+2；

当1<m<2时,d=m+2m+2(m+4)=m+3m2,当m，d随m的增大而减小，

综上所述,当m<1,d=m3m+2; m<2时,d=m+3m2；

(2)①抛物线y=a(x1) +4a的关联直线为y=a(x1)+4a=ax+5a，

解方程组得 或 ，

∴A(1,4a),B(2,3a)，

当y=0时,a(x1) +4a=0,解得x =3,x =1,则C(1,0)，

当y=0时,ax+5a=0,解得x=5,则D(5,0)，

∴S△BCD=×6×3a=9a；

②AC=2+16a,BC=3+9a,AB=1+a，

当AC+AB<BC,∠BAC为钝角,即2+16a+1+a<3+9a,解得a< ；

当BC+AB<AC,∠BAC为钝角,即3+9a+1+a<2+16a，解得a>1，

综上所述,a的取值范围为0<a<或a>1