Question

如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，AB=DE=3，AC=2DF=4．

(1)判断这两个三角形是否相似?并说明为什么?

(2)能否分别过A、D在这两个三角形中各作一条辅助线，使△ABC分割成的两个三角形与△DEF分割成的两个三角形分别对应相似?证明你的结论．

Answer 1

解：(1)不相似．

∵在Rt△BAC中，∠A=90°，AB=3，AC=4；

在Rt△EDF中，∠D=90°，DE=3，DF=2，

∴

      ∴

      ∴Rt△BAC与Rt△EDF不相似．

   (2)能作如图所示的辅助线进行分割．

具体作法：作∠BAM=∠E，交BC于M,作∠NDE=∠B，交EF于N．

由作法和已知条件可知△BAM≌△DEN．

∵∠BAM=∠E, ∠NDE=∠B,

∠AMC=∠BAM+∠B,

∠FND=∠E+∠NDE,

∴∠AMC=∠FND

∴∠FDN=90°-∠NDE,

∠C=90°-∠B

∴∠FDN=∠C,

∴△AMC∽△FND