Question

（2013•黔东南州一模）如图，等边△ABC的面积为

3

，顺次连接△ABC各边的中点得△A₁B₁C₁，顺次连接△A₁B₁C₁各边的中点得△A₂B₂C₂，…，如此下去得△A_nB_nC_n，则△A_nB_nC_n的周长为

3

2n-1

．

Answer 1

分析：根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可得后一个三角形的周长等于前一个三角形的周长的一半，根据此规律进行解答．

解答：解：∵等边△ABC的面积为

3

，
∴AB=BC，∠B=60°
∴

1

2

AB•BCsin60°=

3

，则AB=BC=2
∴△ABC的周长为6．
∵顺次连接△ABC各边的中点得△A₁B₁C₁，
∴△A₁B₁C₁的周长=

1

2

×6=3，
同理：△A₂B₂C₂的周长=

1

2

△A₁B₁C₁的周长=

1

2

×3=

3

2

，
…
以此类推，△A_nB_nC_n的周长=

1

2

△A_n-1B_n-1C_n-1的周长=

3

2n-1

．
故答案是：

3

2n-1

．

点评：本题考查了三角形的中位线定理，推出后一个三角形的周长等于前一个三角形周长的一半是解题的关键．