Question

4．阅读下列材料：各边都相等，各角也都相等的多边形是正多边形（正n边形），如：等边三角形、正方形都是正多边形．对于任意n边形（n≥3）从一个顶点出发都可以把多边形分成（n-2）个三角形，所以n边形的内角和为（n-2）•180°，正n边形的每个内角为$\frac{（n-2）•180°}{n}$．解答下列问题：
（1）正三角形的每个内角是60度；正四边形的每个内角是90度；正五边形的每个内角是108度．
（2）已知：如图，分别在正三角形ABC，正四边形ABCM，正五边形ABCMN的边上截取CD和BE，且满足CD=BE，连结AE、BD交于P．
①请你分别写出图1、图2和图3中，∠APD的度数并选择其中一个说明理由；
②观察特点并写出任意正n边形满足上述条件时，∠APD的度数．

Answer 1

分析 （1）把n的值分别代入$\frac{（n-2）•180°}{n}$进行计算即可；
（2）①由观察图形可以看出∠APD是△APB的一个外角，∠APD=∠BAE+∠ABD．又可得出△ABE≌△BCD，由此便可求出∠APD的度数，∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°；∠APD易证等于∠M，即等于多边形的内角．
②点E、D分别是正n边形ABCM中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，BD与AE交于点P，∠APD等于正n边形的内角，就可以求出．

解答 解：（1）正三角形的每个内角是：$\frac{（3-2）•180°}{3}$=60°；
正四边形的每个内角是：$\frac{（4-2）•180°}{4}$=90°；
正五边形的每个内角是：$\frac{（5-2）•180°}{5}$=108°．
故答案是：60；90；108；

（2）①如图①，∠APD=60°，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCD=60°．
∵在△ABE与△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=CD}\\{∠ABE=∠BCD=60°}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCD（SAS）．
∴∠BAE=∠CBD．
∴∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°．

如图②，∠APD=90°，理由如下：
同理可证：△ABE≌△BCD，
∴∠AEB+∠DBC=180°-90°=90°，
∴∠APD=∠BPE=180°-90°=90°；

如图③，∠APD=108°，理由如下：
同理可证：△ABE≌△BCD，
∴∠AEB+∠DBC=180°-108°=72°，
∴∠APD=∠BPE=180°-（∠AEB+∠DBC）=180°-72°=108°．

②能．如图④，点E、D分别是正n边形ABCM中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，BD与AE交于点P，则∠APD的度数为$\frac{（n-2）•180°}{n}$．

点评 此题主要考查了四边形综合题，此题应当根据正多边形的性质证明一对全等三角形，再结合三角形的外角的性质，发现要求的角总等于正多边形的一个内角．