Question

在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），其中y=0，我们把点P′（-x+1，1-

1

y

）叫做点P的衍生点．已知点A₁的衍生点为A₂，点A₂的衍生点为A₃，点A₃的衍生点为A₄，…，这样依次得到点A₁，A₂，A₃，…，A_n，…．若点A₁的坐标为（2，-1），则点A₃的坐标为

 

；如果点A₁的坐标为（a，b），且点A₂₀₁₅在双曲线y=

1

x

上，那么

1

a

+

1

b

=

 

．

Answer 1

考点：反比例函数图象上点的坐标特征

专题：新定义,规律型

分析：根据衍生点的定义，若点A₁的坐标为（2，-1），则点A₃的坐标为（2，

1

2

）；若点A₁的坐标为（a，b），分别计算点A₂，A₃，A₄，A₅，A₆，A₇的坐标，根据计算结果得到这些点的坐标每6个一循环，则可利用2015=335×6+5，可判断点A₂₀₁₅的坐标与点A₅相同，即为（a，

b-1

b

），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得到a•

b-1

b

=1，则a=

b

b-1

，再根据分式的运算得到

1

a

+

1

b

的值．

解答：解：根据衍生点的定义，点A₁（2，-1）的衍生点为A₂的坐标为（-2+1，1-

1

-1

），即（-1，2）；点A₂（-1，2）的衍生点为A₃的坐标为（1+1，1-

1

2

），即（2，

1

2

）；
若点A₁的坐标为（a，b），
点A₁的衍生点为A₂的坐标为（-a+1，1-

1

b

），即A₂（-a+1，

b-1

b

）；
点A₂的衍生点为A₃的坐标为（a-1+1，1-

1

b-1 b

），即A₃（a，-

1

b-1

）；
点A₃的衍生点为A₄的坐标为（-a+1，1-

1

- 1 b-1

），即A₄（-a+1，b）；
点A₄的衍生点为A₅的坐标为（a-1+1，1-

1

b

），即A₅（a，

b-1

b

）；
点A₅的衍生点为A₆的坐标为（-a+1，1-

1

b-1 b

），即A₆（-a+1，-

1

b-1

）；
点A₆的衍生点为A₇的坐标为（a-1+1，1-

1

- 1 b-1

），即A₇（a，b），
…
而2015=335×6+5，
所以点A₂₀₁₅的坐标与点A₅相同，即为（a，

b-1

b

），
因为点A₂₀₁₅在双曲线y=

1

x

上，
所以a•

b-1

b

=1，则a=

b

b-1

，
所以

1

a

+

1

b

=

b-1

b

+

1

b

=1．
故答案为（2，

1

2

），1．

点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=

k

x

（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了运用从特殊到一般的方法解决规律型问题．