Question

如图，⊙O的半径为2，直径CD经过弦AB的中点G，若

AB

的长等于圆周长的

1

6

．
（1）填空：cos∠ACB=

 

；
（2）求

GD

GB

的值．

Answer 1

分析：连接OA，OB，由

AB

的长等于圆周长的

1

6

知，∠AOB=360°÷6=60°，由圆周角定理知由特殊角的三角函数值知，cos∠ACB=cos30°=

3

2

，由于直径CD经过弦AB的中点G，根据垂径定理知，OG⊥AB，点D是弧AB的中点，由圆周角定理知，∠ABD=∠ACD=30°，由正切的概念知，GD：GB=tan∠ABD=tan30°=

3

3

．

解答：解：（1）∠AOB=360°÷6=60°．
∵∠BCD=∠ACD=30°，
cos∠ACB=cos30°=

3

2

．

（2）解法一：连接OA、OB，则有OA=OB=2．（3分）
∵

AB

的长等于圆周长的

1

6

，
∴∠AOB=360°×

1

6

=60°．（4分）
∴△AOB是等边三角形，∠OAB=∠OBA=60°．（5分）
∵直径CD经过弦AB的中点G，∴CD⊥AB．
∴OG=OBsin60°=

3

，GB=OBcos60°=1．（7分）
∴GD=OD-OG=2-

3

．（8分）
∴

GD

GB

=2-

3

．（9分）
解法二：连接OA、OB，则有OA=OB=2．（3分）
∵

AB

的长等于圆周长的

1

6

，
∴∠AOB=360°×

1

6

=60°．（4分）
∵直径CD经过弦AB的中点G，∴CD⊥AB．
∴∠BOG=

1

2

∠AOB=30°．（5分）
∴GB=1，OG=

22-12

=

3

（7分）
∴GD=OD-OG=2-

3

（8分）
∴

GD

GB

=2-

3

．（9分）

点评：本题利用了周角的概念，圆周角定理，特殊角的三角函数值，垂径定理，正切的概念求解．