Question

2．已知如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点且AC=4，BC=8，以BC为底边作等腰直角△BCD，边CD交⊙O于E．
（1）求AE的长和⊙O的半径；
（2）求证：CE=ED．

Answer 1

分析 （1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=∠AEB=90°，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，于是求得⊙O的半径AO=2$\sqrt{5}$，由等腰直角三角形的性质得到BD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=4$\sqrt{2}$，通过△ABC∽△DBE，得到$\frac{AB}{BE}=\frac{BC}{BD}$，求得BE=2$\sqrt{10}$，由勾股定理即可得到结论；
（2）由相似三角形的性质得到$\frac{AC}{BC}=\frac{DE}{BD}=\frac{1}{2}$，由已知条件得到CD=BD，于是得到结论．

解答 解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠AEB=90°，
∵AC=4，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴⊙O的半径AO=2$\sqrt{5}$，
∵∠D=90°，CD=BD，
∴BD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=4$\sqrt{2}$，
∵∠ACB=∠D=90°，∠BAC=∠BED，
∴△ABC∽△DBE，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{BC}{BD}$，
∴BE=2$\sqrt{10}$，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-（2\sqrt{10}）^{2}}$=2$\sqrt{10}$；

（2）∵△ABC∽△DBE，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{DE}{BD}=\frac{1}{2}$，
∵CD=BD，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD，
∴CE=DE．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．