Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线EF垂直平分线段BC，分别交BC于点E，y轴于点F，交x轴于D．

判定的形状；

在线段BC下方的抛物线上有一点P，当面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值；

如图，过点E作轴于点H，将绕点E逆时针旋转一个角度，的两边分别交线段BO，CO于点T，点K，当为等腰三角形时，求此时KT的值．

Answer 1

【答案】 △ABC为直角三角形； 当时，面积最大，最大面积为，此时； 当是等腰三角形时，KT的值为或．

【解析】

（1）结论：△ABC是直角三角形．求出A、B、C三点坐标，求出AC、BC、AB的长，利用勾股定理的逆定理证明即可．
（2）作P作PG∥y轴，交BC于G，先利用待定系数法求直线BC的解析式为：，设P（x，），则G（x，），根据三角形面积公式表示△BCP面积，配方可得结论；
（3）①如图，当K与O重合，T与D重合时，△EKT的等腰三角形，求出KT即可解决问题．②如图，当TE=KE时，作KN⊥CE于N，EQ⊥OC于Q，则四边形OQEH是矩形，由△KEN≌△ETH，推出KN=EH=1，再想办法求出OK，OT即可解决问题．

为直角三角形，理由如下：

当时，，

点C的坐标为；

当时，，

解得：，，

点A的坐标为，点B的坐标为．

，，．

，

为直角三角形．

如图，过P作轴，交BC于G，

点B的坐标为，点C的坐标为，

易得直线BC的解析式为：，

设，则，

，

，

是直线BC下方抛物线上的点，

，

当时，面积最大，最大面积为，此时；

如下图中，

在中，，

，

，

，，

，

，

当K与O重合，T与D重合时，是等腰三角形，

易知，

，

．

如图，当时，作于N，于Q，则四边形OQEH是矩形，

易知：，，

，，

，

，

，

，，

≌，

，

在中，易知，，

，

，

，，

，

．

综上所述，当是等腰三角形时，KT的值为或．