Question

【题目】如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.

(1)求证：四边形BEDF是菱形；

(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝，求菱形BEDF的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）8

【解析】

（1）连接BD交AC于点O，则由已知易得BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，结合AE=CF可得OE=OF，由此可得四边形BEDF是平行四边形，再结合BD⊥EF即可得到四边形BEDF是菱形；

（2）由正方形ABCD的边长为4易得AC=BD=，结合AE=CF=，可得EF=，再由菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求得菱形BEDF的面积了.

(1)连接BD交AC于点O，

∵四边形ABCD为正方形，

∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC.

∵AE＝CF，

∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，

∴四边形BEDF为平行四边形，

又∵BD⊥EF，

∴四边形BEDF为菱形．

(2)∵正方形ABCD的边长为4，

∴BD＝AC＝.

∵AE＝CF＝，

∴EF＝AC－＝，

∴S菱形BEDF＝BD·EF＝×.