Question

已知二次函数y=x²-（2m-1）x+m²-m（m是常数，且m≠0）．
（1）证明：不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点；
（2）设与x轴两个交点的横坐标分别为x₁，x₂（其中x₁＞x₂），若y是关于m的函数，且，结合函数的图象回答：当自变量m的取值满足什么条件时，y≤2．

Answer 1

解：（1）由题意有△=[-（2m-1）]²-4（m²-m）=1＞0．
∴不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点．

（2）令y=0，解关于x的一元二次方程x²-（2m-1）x+m²-m=0，
得 x=m或x=m-1．
∵x₁＞x₂，
∴x₁=m，x₂=m-1．
∴．
画出与y=2的图象．如图，
由图象可得，当m≥或m＜0时，y≤2．
分析：（1）由抛物线与x轴有两个交点可知△＞0，根据△=b²-4ac即可得到关于m的不等式，判断出△的取值范围即可；
（2）令y=0，解关于x的一元二次方程x²-（2m-1）x+m²-m=0，求出方程的两实数根，把两实数根代入函数即可得到关于m，y的函数，画出此函数及y=2的图象，根据两函数图象的交点即可得出结论．
点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点，根的判别式，解答此题的关键是利用数形结合的思想画出函数图象，再根据函数图象直接解答．