题目内容
（2013•阜宁县二模）如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2
cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；
（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．
①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？
②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）此问需分两种情况，当0＜t≤5及5＜t≤10两部分分别讨论得PQ⊥AC．
（2）①由于点P、M、N在一直线上，则AQ+QM=AM，代入求得t的值．
②假设存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形，但是需分点N在AD上时和点N在CD上时两种情况分别讨论．
解答：解：（1）若0＜t≤5，则AP=4t，AQ=2
t．
则
=
=
，
又∵AO=10
，AB=20，∴
=
=
．
∴
=
．又∠CAB=30°，∴△APQ∽△ABO．
∴∠AQP=90°，即PQ⊥AC．
当5＜t≤10时，同理，可由△PCQ∽△BCO得∠PQC=90°，即PQ⊥AC．
∴在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC．
（2）①如图，在Rt△APM中，∵∠PAM=30°，AP=4t，
∴AM=
．
在△APQ中，∠AQP=90°，
∴AQ=AP•cos30°=2
t，
∴QM=AC-2AQ=20
-4
t．
由AQ+QM=AM得：2
t+20
-4
t=
，
解得t=
．
∴当t=
时，点P、M、N在一直线上．
②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形．
设l交AC于H．
如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH=30°．
∴MH=2NH．得20
-4
t-
=2×
，解得t=2．
如图2，当点N在CD上时，若PM⊥PN，则∠HMP=30°．
∴MH=2PH，同理可得t=
．
故当t=2或
时，存在以PN为一直角边的直角三角形．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，综合性强，较为复杂，难度较大．
（2）①由于点P、M、N在一直线上，则AQ+QM=AM，代入求得t的值．
②假设存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形，但是需分点N在AD上时和点N在CD上时两种情况分别讨论．
解答：解：（1）若0＜t≤5，则AP=4t，AQ=2
t．则
=
=
，又∵AO=10
，AB=20，∴
=
=
．∴
=
．又∠CAB=30°，∴△APQ∽△ABO．∴∠AQP=90°，即PQ⊥AC．
当5＜t≤10时，同理，可由△PCQ∽△BCO得∠PQC=90°，即PQ⊥AC．
∴在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC．
（2）①如图，在Rt△APM中，∵∠PAM=30°，AP=4t，
∴AM=
．在△APQ中，∠AQP=90°，
∴AQ=AP•cos30°=2
t，∴QM=AC-2AQ=20
-4
t．由AQ+QM=AM得：2
t+20
-4
t=
，解得t=
．∴当t=
时，点P、M、N在一直线上．
②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形．
设l交AC于H．
如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH=30°．
∴MH=2NH．得20
-4
t-
=2×
，解得t=2．如图2，当点N在CD上时，若PM⊥PN，则∠HMP=30°．
∴MH=2PH，同理可得t=
．故当t=2或
时，存在以PN为一直角边的直角三角形．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，综合性强，较为复杂，难度较大．
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