题目内容

6．对于生活中的一些实际问题，我们要学会建立数学模型，运用数学思想和思想方法去分析、去研究，从而使问题获得解决．如用水清洗蔬菜上残留的农药，设用x（x≥1）单位量的水清洗依次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留农药量之比为$\frac{1}{x+1}$，现有a（a≧2）单位量的水清洗蔬菜，有两种方案：方案一、将a单位量的水一次清洗；方案二、把a单位量的水平均分成两份后清洗两次．假设清洗前蔬菜上残留的农药量为1，我们可以建立下面分式模型，逐步解决：
（1）利用方案一清洗后蔬菜上残留的农药量M=$\frac{1}{1+a}$．
（2）求出利用方案二清洗后蔬菜上残留的农药量N（用含a的分式表示）
（3）试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．

分析 （1）设清洗前蔬菜上残留的农药量为1，分别用a的代数式表示蔬菜上残留的农药量，用a单位量的水清洗一次，表示出蔬菜上残留的农药量为M；
（2）把a单位量的水平均分成两份后清洗两次，表示出蔬菜上残留的农药量N；
（3）利用作差法比较M与N大小即可得到结果．

解答 解：（1）设清洗前蔬菜上残留的农药量为1，分别用a的代数式表示蔬菜上残留的农药量，
用a单位量的水清洗一次，蔬菜上残留的农药量为M=$\frac{1}{1+a}$；
故答案为：$\frac{1}{1+a}$
（2）把a单位量的水平均分成两份后清洗两次，
蔬菜上残留的农药量N=$\frac{1}{1+\frac{a}{2}}$•$\frac{1}{1+\frac{a}{2}}$=$\frac{1}{（1+\frac{a}{2}）^{2}}$；
（3）∵（1+a）-（1+$\frac{a}{2}$）2=1+a-1-a-$\frac{{a}^{2}}{4}$=-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴1+a＜（1+a）2，
∴P＞Q，
则方案二：清洗两次残留的农药量比较少．

点评 此题考查了分式的加减法，以及作差法比较大小，表示出M与N是解本题的关键．

练习册系列答案
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