题目内容
【题目】如图，长方形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=BC=20，AB=8，动点P从点B出发，先以每秒2cm的速度沿B→A的方向运动，到达点A后再以每秒4cm的速度沿A→D的方向向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿B→C的方向向终点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点P、Q同时出发，运动时间为t秒．
(1)直接写出BQ的长(用含t的代数式表示)
(2)求△BPQ的面积S(用含t的代数式表示)
(3)求当四边形APCQ为平行四边形t的值
(4)若点E为BC中点，直接写出当△BEP为等腰三角形时t的值．
【答案】(1) BQ=2t(0≤t≤9) ；(2) S=2t2(0＜t≤4)， S=8t(4＜t≤9)； (3) t=6；(4) t=5或
或
或8
【解析】
(1)先计算得出点P和点Q走完全程所需时间，即可直接写出BQ的长；
(2)分点P在AB上时和点P在AD上时，两种情况讨论，由三角形面积公式可求S与t的函数关系式；
(3)当点P在AD上，且AP=CQ时，四边形APCQ是平行四边形．由此构建方程即可解决问题．
(4)分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解，
(1) 点P走完全程所需时间：
(秒)，
点Q走完全程所需时间：
(秒)，
∴点P和点Q运动时间最多为
秒，
由题意，得：BQ
(
)；
(2)当点P在AB上时，S=
BQ×BP=×2t×2t=2t2(0＜t≤4)，
当点P在AD上时，S=BQ×8=8t(4＜t≤9)；
(3)当点P在AD上，且AP=CQ时，四边形APCQ是平行四边形，
依题意得：4(t-4)=20-2t，
解得：t=6．
∴t=6时，四边形APCQ是平行四边形；
(4)∵点E为BC中点，
∴BE=EC=10，
如图，若BE=PE=10，过点E作EH⊥AD于H，
∵∠ABC=∠BAD=90°，EH⊥AD，
∴四边形ABEH是矩形，
∴HE=AB=8，AH=BE=10=HD，
∴PH=
=6，
当点P在点H左边时，
∴AP=4，
∴
5(秒)，
当点P在点H右边时，
∴AP=16
∴
8(秒)，
如图，若BP=PE，过点P作PM⊥BC于M
∴BM=ME=5，
∵∠ABC=∠BAD=90°，PM⊥BC，
∴四边形ABMP是矩形，
∴AP=BM=5，
∴
(秒)，
若BP=BE=10，
∴AP=
=6
∴
(秒)，
综上所述：当t=5或
或
或8时，△BEP为等腰三角形．
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