Question

如图，AB是⊙O的直径，点D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．
（1）求证：PQ是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，TC=2，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：连接OT，如图所示：
∵AT平分∠BAD，∴∠BAT=∠CAT，
又∵OA=OT，∴∠OTA=∠BAT，
∴∠OTA=∠CAT，
∴OT∥AC，又AC⊥PQ，
∴OT⊥PQ，
∴PQ是⊙O的切线；

（2）解：连接OD，TD，过O作OM⊥AC垂足为M，如图所示：
∵OM=TC=2，OA=4，OM⊥AC，
∴sin∠OAM==，故∠OAM=60°，
∴∠OAT=∠COT=∠ATD=30°，∠TOD=60°，
又∠DCT=90°，∴∠ATC=60°，
∴∠DTC=30°，TC=2，
∴DC=2，
∴S_阴影=S_梯形CDOT-S_扇形OTD
=-
=6-．
分析：（1）连接OT，由AT平分∠BAD，根据角平分线定义得到∠BAT与∠CAT相等，再由半径OA与OT相等，根据等边对等角得到∠OTA与∠BAT相等，等量代换得到内错角∠OTA与∠CAT相等，所以OT与PQ平行，由AC与PQ垂直，根据平面上与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到OT与PQ垂直，则PQ为⊙O的切线；
（2）连接OM，OD，TD，过O作OM⊥AC，由OM和OA的长，利用正弦函数定义求出∠OAD的度数，进而求出∠ATC和∠TOD的度数，得到∠DTC的度数，在直角三角形TDC中，由TC的长求出DC的长，然后阴影部分的面积等于梯形CDOT的面积减去扇形OTD的面积，分别利用梯形的面积公式和扇形的面积公式，求出即可．
点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了扇形的面积公式为S=（n为扇形的圆心角，R为扇形的半径）．阴影部分的面积求法：当阴影部分是规则图形时，利用规则图形的面积公式来求；当阴影部分是不规则图形时，一般利用割补的方法转化为规则图形间接来求．