Question

平面直角坐标中，直线OA、OB都经过第一象限（O是坐标原点），且满足∠AOB=45°，如直线OA的解析式为y=kx，现探究直线OB解析式情况．

（1）当∠BOX=30°时（如图1），求直线OB解析式；
（2）当k=2时（如图2），探究过程：OA上取一点P（1，2）作PF⊥x轴于F，交OB于E，作EH⊥OA于H，则=______，根据以上探究过程，请求出直线OB解析式；
（3）设直线OB解析式为y=mx，则m=______（用k表示），如双曲线交OA于M，交OB于N，当OM=ON时，求k的值．

Answer 1

解：（1）在OB上任取一点C，作CD⊥x轴与点D，设CD=a，
∵∠1=30°，
∴OC=2CD=2a，
在Rt△ODC中，由勾股定理，得
OD=a，
设OB的解析式为y=kx，由题意，得
a=ak，
k=．
∴OB的解析式为：y=x；

（2）∵PF⊥x轴，P（1，2），
∴OF=1，PF=2，
∴由勾股定理，得
OP=．
∴tan∠OPF=．
∵EH⊥OA，
∴∠EHP=90°，
∴=，
设EH=x，PH=2x，
∴PE=x
∴OH=-2x．
∵∠HOE=45°，
∴OH=EH=x，
∴x=-2x，=．
∴x=
∴AE=，
∴EF=
∴E（1，）．
设OB的解析式为y=k₁x，由题意，得
k₁=．
∴OB的解析式为y=x；

（3）k＞1时，同上可得m=，
0＜k＜1时，m=
k＞1时，设M（1，k），则N（k，1），代入可得，k²-2k-1=0，k=；
0＜k＜1时，同理可得k=．
故答案为：；（k＞1）或（0＜k＜1）．
分析：（1）在OB上任取一点C，作CD⊥x轴与点D，设CD=a，由勾股定理可以得出OD=a，设OB的解析式为y=kx，运用待定系数法就可以求出结论；
（2）由条件和勾股定理可以求出E点的坐标就可以求出OB的解析式；
（3）分k＞1时，0＜k＜1时，两种情况用k表示出m；分k＞1时，0＜k＜1时，两种情况求出k的值．
点评：考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：勾股定理，待定系数法，三角函数，分类思想和方程思想的运用，综合性较强，有一定的难度．