Question

正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是射线AB上一点，点F是直线AD上一点，BE=DF，连接EF交线段BD于点G，交AO于点H．若AB=3，AG=，则线段EH的长为________．

Answer 1

或
分析：由EF与线段BD相交，可知点E、F位于直线BD的两侧，因此有两种情形，需要分类讨论．
以答图1为例，首先证明△EMG≌△FDG，得到点G为Rt△AEF斜边上的中点，则求出EF=2AG=2；其次，在Rt△AEF中，利用勾股定理求出BE或DF的长度；然后在Rt△DFK中解直角三角形求出DK的长度，从而得到CK的长度，由AB∥CD，列比例式求出AH的长度；最后作HN∥AE，列出比例式求出EH的长度．
解答：由EF与线段BD相交，可知点E、F位于直线BD的两侧，因此有两种情形，如下：
①点E在线段AB上，点F在线段AD延长线上，依题意画出图形，如答图1所示：
过点E作EM⊥AB，交BD于点M，则EM∥AF，△BEM为等腰直角三角形，
∵EM∥AF，∴∠EMG=∠FDG，∠GEM=∠F；
∵△BEM为等腰直角三角形，∴EM=BE，∵BE=DF，∴EM=DF．
在△EMG与△FDG中，

∴△EMG≌△FDG（ASA），
∴EG=FG，即G为EF的中点，
∴EF=2AG=2．（直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半）

设BE=DF=x，则AE=3-x，AF=3+x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE²+AF²=EF²，即（3-x）²+（3+x）²=（2）²，
解得x=1，即BE=DF=1，
∴AE=2，AF=4，
∴tan∠F=．
设EF与CD交于点K，则在Rt△DFK中，DK=DF•tan∠F=，
∴CK=CD-DK=．
∵AB∥CD，∴，
∵AC=AH+CH=3，∴AH=AC=．
过点H作HN∥AE，交AD于点N，则△ANH为等腰直角三角形，∴AN=AH=．
∵HN∥AE，∴，即，
∴EH=；
②点E在线段AB的延长线上，点F在线段AD上，依题意画出图形，如答图2所示：

同理可求得：EH=．
综上所述，线段EH的长为或．
故答案为：或．
点评：本题是几何综合题，考查相似三角形的综合运用，难度较大．解题关键是：第一，读懂题意，由EF与线段BD相交，可知点E、F位于直线BD的两侧，因此有两种情形，需要分类讨论，分别计算；第二，相似三角形比较多，需要理清头绪；第三，需要综合运用相似三角形、全等三角形、正方形、勾股定理、等腰直角三角形的相关性质．