Question

已知正三角形ABC，AB=a，点P，Q分别从A，C两点同时出发，以相同速度作直线运动，且点P沿射线AB方向运动，点Q沿射线BC方向运动．设AP的长为x，△PCQ的面积为S，
（1）求S关于x的函数关系式；
（2）当AP的长为多少时，△PCQ的面积和△ABC的面积相等？

Answer 1

分析：（1）分当0＜x＜a时和当x＞a时，作PM⊥BQ，表示出线段PM=

3

2

(a-x)，利用三角形的面积公式写出S与x的函数关系式即可；
（2）首先表示出S_△ABC，分0＜x＜a时和当x＞a时列出方程求解x的值即可．

解答：解：（1）当0＜x＜a时，作PM⊥BQ（如图1），
则PM=

3

2

(a-x)，CQ=AP=x，所以S=

1

2

×CQ•PM=

3

4

x(a-x)．
当x=a时，S=0．
当x＞a时，同样作PM⊥BQ（如图2），
则PM=

3

2

(x-a)，所以S=

1

2

×CQ•PM=

3

4

x(x-a)．

（2）S_△ABC=

3

4

a2．
当0＜x＜a时，由

3

4

x(a-x)=

3

4

a2，
得x²-ax+a²=0．
因为b²-4ac=-3a²＜0，
所以此方程无解．
当x＞a时，由

3

4

x(x-a)=

3

4

a2，
得x²-ax-a²=0．
解得x=

a± 5 a

2

.x=

a- 5 a

2

不合题意舍去，
所以x=

a+ 5 a

2

，
即当x=

a+ 5 a

2

时，△PCQ的面积和△ABC的面积相等．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，根据题意分类讨论列出函数的关系式是解决本题的关键．