Question

18．如图．已知△ABC的内切圆半径为1，外接圆半径为$\frac{5}{2}$，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点P，则IA•IP的值为（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{25}{4}$
• C． 5
• D． $\frac{25}{2}$

Answer 1

分析 设AP与BC交于点D，由点I是△ABC的内心可知，AI是△ABC的平分线，所以$\widehat{BP}=\widehat{CP}$，过点P作PG⊥BC于点G，并延长交△ABC的外接圆于点E，由垂径定理可知PE是△ABC外接圆的直径，所以∠EAP=90°，过点I作IF⊥BC于点F，易证△EAP∽△DFI，所以AP•DI=5，再证明BP=IP，然后利用△BDP∽△ABP得到$\frac{BD}{AB}=\frac{BP}{AP}$，再利用角平分线的性质可得$\frac{BD}{AB}=\frac{DI}{IA}$，所以IA•BP=AP•DI=5，即IA•IP=5．

解答 解：设AP与BC交于点D
∵I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∴$\widehat{BP}=\widehat{CP}$，
过点P作PG⊥BC于点G，延长PG交△ABC的外接圆于点E，
∴由垂径定理可知PE是△ABC外接圆的直径，
∴PE=2×$\frac{5}{2}$=5，∠EAP=90°，
过点I作IF⊥BC于点F，
∴IF=1，
∵PE∥IF，
∴∠EPA=∠DIF，
∴△EAP∽△DFI，
∴$\frac{PE}{DI}=\frac{AP}{IF}$，
∴AP•DI=PE•IF=5，
连接BI，
∵$\widehat{BP}=\widehat{CP}$，
∴∠PBC=∠PAB，
∵BI平分∠ABC，
∴∠ABI=∠CBI，
∴∠PBC+∠CBI=∠ABI+∠PAB，
即∠PBI=∠PIB，
∴BP=IP
∵∠BPA=∠BPA，
∴△BDP∽△ABP，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{BP}{AP}$，
∵BI平分∠ABC，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{DI}{IA}$，
∴$\frac{DI}{IA}=\frac{BP}{AP}$，
∴IA•BP=AP•DI=5，
∵BP=IP，
∴IA•IP=5，
故选（C）

点评 本题考查三角形的外心与内心的性质，涉及角平分线的性质，垂径定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的判定和性质等知识，内容较为综合，需要学生综合运用各种知识解决．