Question

5．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AB=AC，E，F分别为AC，BC的中点，连接EF，ED，FD．
（1）求证：ED=EF；
（2）若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=6，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形的性质可知DE=$\frac{1}{2}$AC，由三角形中位线定理可得EF=$\frac{1}{2}$AB，由条件AB=AC，可证得结论；
（2）由条件可证得△DEF为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得DF的长．

解答 （1）证明：
∵∠ADC=90°，E为AC的中点，
∴DE=AE=$\frac{1}{2}$AC，
∵F为BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=AC，
∴DE=EF；
（2）解：
∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=30°，
由（1）可知EF∥AB，AE=DE，
∴∠FEC=∠BAC=30°，∠DEA=2∠DAC=60°，
∴∠FED=90°，
∵AC=6，
∴DE=EF=3，
∴DF=$\sqrt{D{E}^{2}+E{F}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查三角形中位线定理及直角三角形的性质，利用条件分别得到DE为直角三角形斜边上的中线、EF为三角形的中位线是解题的关键．